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2022福建省考备考资料:赋零法巧解三元一次方程问题

2021-12-06 13:21:06 公务员考试 https://xiamen.huatu.com/gwy/ 文章来源:厦门华图

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  各位正在备考的小伙伴们,大家好!今天我们来学习数量关系中的三元一次方程特定题型的解题技巧。相信很多小伙伴对于赋零法解三元一次方程都有所了解,但是又比较疑惑到底什么情况下使用一定是正确的,为什么有时候赋0法就不适用,今天我们就来解决这个问题。

  首先我们先来看一个例题,让大家了解一下赋零法。

  例1.(2009 国考)甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔,共花了32元,乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔,共花了4 3元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支,共用多少钱?

  A. 21元 B. 11元 C. 10元 D. 17元

  解析:设签字笔、圆珠笔和铅笔的单价分别为x、y、z,可得两个方程3x+7y+z=32①、4x+10y+z=43②,求x+y+z的和是多少。两个方程三个未知项是无法直接确定x、y、z的具体数值的,提供两种常见思路。

  解法一 :凑系数法,因为我们要求的是x+y+z的整体,所以每一项的系数都应该为1,那么我们优先解决系数最复杂的一项,通过观察后发现,两个方程系数最复杂的项应该是x的系数,系数分别为7和10,接下来把7和10的倍数分别枚举下来,分别为7、14、21、28、35和10、20、30、40等,观察后发现他们的公倍数只有21减去20为1,因此我们将①×3减去②就可以将x、y、z的系数变为1,因此最后的结果为32×3-43×2=10元,选择C选项。

  解法二:赋零法,首先我们分析x、y、z里系数最复杂的未知项,显然是x,令x=0,那么两个方程就变成了3x+z=32、4x+z=43,两式相减可以求得x=11,然后代入求得z=-1,所以x+y+z=11+0-1=10,选C选项。

  分析两个方法后我们发现,明显赋零法解题更加方便简洁。凑系数法虽看似方便,但在实际解题过程中,在将系数凑为1时往往会遇到困难,并没有赋零法解题方便。那么小伙伴就会想,是不是所有的三元一次方程问题都可以这样求解呢?肯定不是的,接下来我们看两个反例。

  例2.(2014 吉林)某学校组织一次教工接力比赛,共准备了25件奖品分发给获得一、二、三等奖的职工,为设计获得各级奖励的人数,制定两种方案:若一等奖每人发5件,二等奖每人发3件,三等奖每人发2件,刚好发完奖品;若一等奖每人发6件,二等奖每人发3件,三等奖每人发1件,也刚好发完奖品,则获得二等奖的教工有多少人?

  A.6 B.5 C.4 D.3

  解析:设一等奖、二等奖和三等奖的教工人数分别为x、y、z人,可得两个方程5x+3y+2z=25①、6x+3y+z=25②。我们发现此题需要求解的是y的值,那么明显将x或z赋予不同的值,求解出来的结果是不一样的,因此不能用赋值法。此题的正确解法应该是将不定方程组转化为不定方程来求解。②×2-①=7x+3y=25,通过代入排除可确定y=6,因此选择A选项。

  此题不能用赋零法的原因在于求解的只是y的值,并不是x+y+z的整体。我们再来看一个例子。

  例3. 某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划一等奖每人发6支,二等奖每人3支,三等奖每人发2支。后来又改为一等奖每人发9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,总共有多少人获奖?

  A.5 B.6 C.7 D.8

  解析:设一等奖、二等奖和三等奖的学生人数分别为x、y、z人,可得两个方程6x+3y+2z=22①、9x+4y+z=22②。通过观察后我们求的是整体,我们先用赋零法试一下。因为x的系数最复杂,因此令x=0,可得5y=22,y=4.4,代入解得z=4.4,此时x+y+z=8.8不是整数,但人数必须要是整数,很明显不符合实际,因此也不能使用。看到这各位小伙伴可能会想,这也不能用,那也不能用,那学了干啥咧!各位小伙伴别着急,我们先来看这道题的正确解法,将②×2- ①=12x+5y=22,赋值代入可得唯一解x=1、y=2,代入得z=5,所以总人数=x+y+z=8,因此选择D选项。

  此题虽然求的是整体,但是由于要求x、y、z都必须是整数,所以也不能用赋零法。

  给大家总结分析一下,在解决三元一次方程时,什么情况下能使用赋值法。首先要求求的必须是整体(x+y+z的总和),其次是要求求的量没有整数要求的限制,常见的比如金钱就不要求必须为整数,但具体人数就必须为整数。简单分析一下原理,题目要求我们求解的是x+y+z的总和或者x+y+z的整数倍,那么x+y+z的结果必然为定值,它在实数的范围内有无数组解,你可以尝试令x为任意值,在实数范围内总能找到一组y和z的值,满足x+y+z等于定值,但是如果限制整数那就不一定能找到满足条件的y和z的值。

  接下来再把今天的知识点梳理为以下思维导图,方便大家理解。

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(编辑:六月)
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