2021福建事业单位备考资料：排列组合之隔板模型

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　　排列组合问题的题型多样灵活且不易掌握，但是在众多的排列组合题型中，有一类题目有明显的不同于其他的题型特征以及解法。下面我们就一起学习一下排列组合中的隔板模型。

　　一、题目特征及其条件

　　【题目】把n个相同元素分给m个不同的对象，每个对象至少 1 个元素，问有多少种不同分法的问题。

　　【条件】隔板模型使用前提相当严格，必须同时满足以下 3 个条件：

　　1.n个相同元素;

　　2.m个不同对象;

　　3.每个对象至少分到 1 个。

　　二、本质及基本解题公式

　　【本质】同素分堆

　　【公式】

　　【引例】8个相同的苹果分给3个不同小朋友，每个小朋友至少分一个苹果，问有多少种不同的分法。

　　将8个相同苹果分成3份，只需要往8个苹果形成的空隙中插入2块板子即可，但需要注意的是，不可以在开头或者结尾的空档中加入隔板(如果在开头或结尾加入的话，就表明有一个小朋友分不到苹果)，同时也不能在中间的同一个空档加入2个隔板(这样的情况也表明一个小朋友没有分到苹果)。所以，合理的分法是在8个苹果形成的7个空隙中间插入2个隔板，一共的方法有=21种方法。

　　三、基本变形式

　　当然公考不只考察其基础模型，还会涉及变形，但是无论怎么变形，核心点都是构造“至少分一”的基础模型。

　　【变形1】n个相同元素分成m份，每份数量不定。

　　【例1】将13个完全相同的小球放到4个编号分别为 1、2、3、4 的盒子中，要求每个盒子中放的球数不少于自身的编号数，则一共有多少种方法?

　　A.18B.19C.20D.21

　　【解析】C。解析：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，而是1号盒子至少一个，2号盒子至少2个，3号盒子至少3个，4号盒子至少4个。因此首先需要做的是把这样复杂的问题转化成“ n个相同元素分给m个不同对象，每人至少分1个元素，问有多少种不同分法”的问题。故分两步进行，第一步先给2号盒子放1个球，3号盒子放2个球，4号盒子放3个球，此时还剩下7个球;第二步将复杂的问题转化成“7个相同的小球，分给4个不同的盒子，每个盒子至少放一个球”的标准模型，方法数为=20种。

　　【变形2】n个相同元素分成m份，至少分得多个元素。

　　【例2】28份杂志分给3家不同的单位，每家至少8份，问有多少种不同的分配方法?

　　A. 14 B.15C. 16D.17

　　【解析】B。解析：要构造“至少分一”，那么先给每家单位7份，这时题目便转化成了“7份相同的杂志分给不同的3家单位，每家至少分一”，有=15种。

　　【变形3】n个相同元素分成m份，随意分，分完即可。

　　【例3】王老师要将17个一模一样的文具盒分给3个不同的学生，任意分，分完即可，有多少种不同的方法?

　　A.160B.171C.231D.560

　　【解析】B。解析：题目要求“任意分，分完即可”即每个盒子可以为空，即至少0个，不能直接用标准模型来解题，因此首先需要做的是将其转化成标准模型然后进行求解。故分两步进行，第一步先向每个人借1个相同的本子;第二步，将此题转化为“将20本相同的书分给3个不同的学生，每个学生至少一本”的标准模型，则有=171种。

　　总结：破解隔板模型的排列组合问题，关键就是在于理解题目含义，找到题干的变形条件将之进行适当转化，从而与标准模型对应起来，根据公式快速求解。

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（编辑：六月）