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2013福建公务员考试-同余问题中的剩余定理

2013-03-26 13:25:39 公务员考试 https://xiamen.huatu.com/gwy/ 文章来源：厦门华图

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公务员考试是公务员主管部门组织的担任主任科员以下及其他相当职务层次的非领导职务公务员的录用考试。公共科目笔试是根据公务员应当具备的基本能力并针对职位进行的考试。2013公务员考试的步伐已经悄悄的向我们迈进，对于这一切你准备好了吗？在此，我精心为大家准备了一些备考资料，希望能在大家的公考之路助你们一臂之力。亲们，时间不等人啊，让我们一起加油吧！

　　余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中，唐山华图推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用，但是有时候会出现余不同，和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。

　　剩余定理的原理是在“孙子问题”现代数论中的一个一次同余问题，它早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何?显然，这相当于求不定方程组

　　N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2

　　的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：

　　N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②

　　《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法：三三数之，取数七十，与余数二相乘;五五数之，取数二十一，与余数三相乘;七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：

　　N=70×3+21×3+15×2-2×105。

　　这里105是模数3、5、7的小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的小正整数。对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式

　　N=70×R1+21×R2+15×R3-P×105(p是整数)。

　　孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性：

　　也就是说，这三个数可以从小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令 k1=2，K2=1，K3=1，那么整数Ki(i=1，2，3)的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。

在公考的路上，不论你的曾经是成功的还是失败的，不论你经历了多少波折和苦难，不必去仰望别人，脚下即有钻石，自己亦是风景，相信幸福总在不远处，或许下一个转角，就会是幸福的彼岸。后，祝福所有公考路上的朋友们，都能够成功上岸，在新的一年里幸快乐!祝君好与，好人一生平安。

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